Математический анализ
Уравнение прямой в пространстве
Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.
Сфера Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки
, называемой центром, называется сферой.
Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
Ограниченные и неограниченные множества
Пример Показать, что последовательность
не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn.
Число е Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом
.
Односторонние пределы Если у любой сходящейся к точке
последовательности
все ее элементы меньше
сходится к
, то число
.
Предел функции на бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при
, если для любой бесконечно большой последовательности
сходится к А.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Непрерывность функций в точке Функция
определенная в некоторой окрестности точки
, включая саму точку
Обратная функция Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x), т.е. множество пар чисел (x, y):
, причем
.
Элементы теории множеств
Логические символы
В математике понятия множества первично (не определяется).
Синонимы: совокупность, система, набор, семейство и т.п.
Обозначения: A,B,X,… .
Объекты, из которых состоит множество, называются элементами или точками.
Обозначения: x, y, α, β,… .
Обозначения с помощью логической символики
1)
(из того, что
следует, что
)
2)
(α и β эквивалентны, (то есть
и
)).
Пример 16.1.
Предложение α: два вектора перпендикулярны.
Предложение β: скалярное произведение двух векторов равно нулю.
3)
(для любого элемента x из множества X имеет место предложение α)
– квантор всеобщности.
4)
(существует элемент x из множества X, для которого имеет место предложение
)
– квантор существования.
5)
– отрицание предложения
.
Определение 16.4.
Y подмножество X, если в Y нет элементов, не принадлежащих X или:
(X содержит Y).
Определение 16.5.
X=Y, если множества состоят из одних и тех же элементов:
6)
– пустое множество. Не содержит ни одного элемента.
16.2. Операции над множествами
Определение 16.6.
Множество, каждый элемент которого является элементом множества A или B, называется объединением множеств A и B:
(логическое сложение).
Определение 16.7.
Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и B, называется пересечением множеств A и B:
(логическое умножение).
Определение 16.8.
Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и не является элементом множества B, называется разностью множеств
A и B.
.
Свойства множеств
10
,
– коммутативность;
20 а)
– ассоциативность;
б)
30 а)
; б)
40 а)
б)
– дистрибутивность;
Числовые множества
Числовые множества – множества, объектами которых являются числа.
Пример 16.2.
1)
; 2)
; 3) Q; 4) R;
5)
;
6)
.
16.3 Окрестности точки х0 как особый вид множества
Пусть x0
,
тогда
- окрестностью х0 называется интервал:
Число
Заметим:
,
где
– проколотая окрестность точки x0
Очевидно,
Введем понятие бесконечно удаленных точек.
Пусть задано сколь угодно большое число M>0.
Определение 16.9.
Окрестностью элемента +
называется множество тех точек x, для которых x>M или:
.
Определение 16.10.
Окрестностью элемента -
.
Определение 16.11.
Окрестностью элемента
.
| Вернуться на Главную |
