Математика. Примеры выполнения контрольной работы Математика контрольная

Лекция 21

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Физический смысл дифференциала. Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то  равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент . Использование дифференциала для приближенных вычислений

Производная сложной функции

Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма

Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций

Раскрытие неопределенностей

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .

Частные производные Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций

Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .

21.1. Производная функции

Пусть функция определена на множестве , .

Определение 21.1

Производной функции  в точке  называют ,

если он существует и конечен.

Замечание 1. Если , то говорят, что функция имеет бесконечную производную знака «+» или «–».

Обозначения: .

Пример 21.1.

Найти производную функции .

.

 

Пример 21.2.

Найти производную функции .

.

.

Определение 21.2.

 – правосторонняя производная;

 – левосторонняяпроизводная.

Теорема 21.1.

Функция  имеет производную в точке , тогда и только тогда, когда существуют левые и правые производные и они равны.

Замечание 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

21.2. Дифференциал функции

Определение 21.3.

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  в этой точке можно представить в виде:

, (21.1)

 где ,  – бесконечно малая функция.

Замечание 3. В формуле (21.1)  (читают: А от ) – главная линейная относительно  часть приращения называется дифференциалом функции   в точке  и обозначается  или :

 (21.2)

Таким образом, . Если обозначить , то

. (21.3)

Теорема 21.2.

Для того чтобы функция  была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема 21.3.

Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание 4. Обратное утверждение неверно!

Обозначение: .

Итак,  или

. (21.4)

21.3. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция  определена на интервале , причем точки ,  принадлежат графику функции, тогда, МР – секущая.

.

Если существует предел, то прямую с угловым коэффициентом  называют предельным положением секущей MP при  (или касательной) (MS). (То есть ).

Из   .

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в точке .

 – уравнение касательной.

Физический смысл производной.

Пусть  – закон движения точки; тогда за время   будет пройден путь . За время : .

Если , , то  – средняя скорость за время .

Таким образом,  – мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл дифференциала.

, .

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.


Вернуться на Главную