Найти полное приращение и дифференциал функции 
в точке 
.
Ñ
По формуле (5.1) 
=
.
Дифференциал df есть главная часть полного приращения,
линейная относительно 
: 
.#
6. Найти дифференциал функции 
.
Первый способ. По формуле (5.4):
,
.
Второй способ. Применяем правила дифференцирования
(5.5):
+
. #
7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и
3-го порядков для функции 
.
Ñ
По формуле (5.4): 
. По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными,
последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):
=
#
8. Найти 
, если 
, где 
.
Ñ
По формуле (6.1) имеем 
. #
9. Найти производную функции 
.
Ñ
Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для
функции одной переменной.
Второй способ. Функция u(t) есть результат образования
сложной функции при подстановке в функцию 
вместо x и y двух одинаковых функций
переменой t: 
. Тогда по формуле (6.1): 
+
получаем 
=
+
.#
10. Найти 
и 
, если 
, где y = sin2x.
Ñ
Имеем 
. По формуле (6.2) получим 
= 
.#
11. Найти 
, если 
, где 
, 
.
Ñ
- сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда
по формулам (6.3) получим: 
;
; 
,
, 
,
.#
12. Найти 
, если 
.
Ñ
и по формуле (6.4) получаем 
=
. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной
подстановкой убедимся, что точка 
принадлежит графику функции, т.е. 
. Поэтому 
.#
13. Найти 
, если 
.
ÑЛевую
часть данного уравнения обозначим 
. По формуле (6.5) получим:
, 
.#
14. Вычислить приближенно 
.
Ñ
Искомое число будем рассматривать как значение функции 
при 
и 
, если 
. Точка 
выбрана из соображений близости
ее к точке 
и простоты вычисления значений функции f и ее частных
производных в точке М. По формуле (7.1) имеем 
.
Находим 
, 
. Следовательно, 
»
. #
