Найти полное приращение и дифференциал функции
в точке
.
Ñ По формуле (5.1)
=
.
Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно
:
.#
6. Найти дифференциал функции
.
Первый способ. По формуле (5.4):
,
.
Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):
+
. #
7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции
.
Ñ По формуле (5.4):
. По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):
=
#
8. Найти
, если
, где
.
Ñ По формуле (6.1) имеем
![]()
![]()
. #
9. Найти производную функции
.
Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.
Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию
вместо x и y двух одинаковых функций переменой t:
![]()
. Тогда по формуле (6.1):
+
получаем
=
+
![]()
.#
10. Найти
и
, если
, где y = sin2x.
Ñ Имеем
. По формуле (6.2) получим
=
.#
11. Найти
, если
, где
,
.
Ñ
- сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим:
;
;
,
,
,
.#
12. Найти
, если
.
Ñ
и по формуле (6.4) получаем
=
. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка
принадлежит графику функции, т.е.
. Поэтому
.#
13. Найти
, если
.
ÑЛевую часть данного уравнения обозначим
. По формуле (6.5) получим:
,
.#
14. Вычислить приближенно
.
Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции
при
и
, если
. Точка
выбрана из соображений близости ее к точке
и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем
.
Находим
,
![]()
. Следовательно,
»
![]()
. #