КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
Практикум по решению задач
1. Область S задана уравнениями границы:
.
Изобразить указанную область и записать как правильную.
Ñ Область S – треугольник, ограниченный прямыми
![]()
(рис. 3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2; 1), B(2; 2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую
и прямую
. Поэтому область задается системой неравенств:
.
б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S1 и S2 (рис. 4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y : OB: x=y, OA: x=2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L1 пересекает прямую OB: x=y и прямую OA: x=2y; прямая L2 пересекает прямую OB: x=y и прямую AB: x=2. Итак,
и
,
.#
2. Точки из области D удовлетворяют неравенству
(a>0) , т.е.
. Изобразить данную область и записать как правильную.
Ñ Преобразуя неравенство
, получим
. Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы
следует
или
. Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность
и полуокружность OML:
(рис. 5),
.
Рис. 5 Рис. 6
Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность
и полуокружность
+
(рис. 6)), и
![]()
#
3. Вычислить повторный интеграл
.
Ñ
½интегрируя внутренний интеграл по «y», полагаем «x» постоянным½=
=
. #
4. Изменить порядок интегрирования в интеграле
.
Ñ
, и правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2 – y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых
и
, то, где
,
. Итак,
=
=
=
.#
5. Вычислить
по области D, ограниченной линиями
и
.
Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол
и
решаем уравнение
![]()
, откуда имеем действительные корни
,
. Таким образом, параболы пересекаются в точках
. Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис. 8а), имеем
. По формуле
а)
=
Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис. 8б), то
. По формуле
=
=
. #