КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
Практикум по решению задач
1.
Область S задана уравнениями границы: 
.
Изобразить указанную область и записать как
правильную.
Ñ Область S
– треугольник, ограниченный прямыми 
(рис. 3). Точки пересечения прямых есть
O(0;0), A(2; 1), B(2; 2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и
любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую 
и прямую 
. Поэтому область задается
системой неравенств: 
.
б) Эта же область является
правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо
область S разбить на две части S1 и S2 (рис. 4). Выразим в уравнениях границы
x через независимую переменную y : OB: x=y, OA: x=2y. Для определения границ изменения
переменной y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L1 пересекает прямую
OB: x=y и прямую OA: x=2y; прямая L2 пересекает прямую OB: x=y и прямую AB: x=2.
Итак, 
и 
, 
.#
2. Точки из области D удовлетворяют
неравенству 
(a>0) , т.е. 
. Изобразить данную область и записать как правильную.
Ñ
Преобразуя неравенство , получим 
. Геометрически область D есть
круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы 
следует 
или 
. Область D может быть записана как правильная в направлении
Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает
полуокружность 
и полуокружность OML: 
(рис. 5),
.
Рис. 5 Рис. 6Область D можно записать как правильную
в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает
полуокружность 
и полуокружность 
+ 
(рис. 6)), и 
#
3. Вычислить повторный интеграл 
.
Ñ
½интегрируя внутренний интеграл по «y», полагаем «x» постоянным½=
= 
. #
4. Изменить порядок интегрирования
в интеграле 
.
Ñ 
, и правильная в направлении Ox область
D ограничена линиями x=y, x=2 – y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис.
7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы
состоит из отрезков прямых 
и 
, то, где 
,
. Итак, 
= 
= 
=
.#
5. Вычислить 
по области D, ограниченной линиями 
и 
.
Ñ Изобразим область D. Для отыскания
точек пересечения парабол и решаем уравнение 
, откуда имеем действительные корни 
, 
. Таким образом, параболы пересекаются
в точках 
. Рассматривая D как правильную в направлении
Oy (рис. 8а), имеем 
. По формуле
а) 
=
Если область D рассматривать
как правильную в направлении Ox (рис. 8б), то 
. По формуле
=
=
. #
