Задача 6. Вычислить
.
Решение. Это интеграл вида
.
Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае
), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение
, следовательно, можно выполнить замену:
.
В результате получим
Задача 7. Вычислить
.
Решение. Это интеграл вида
с чётными m и n (в данном случае
). Воспользуемся формулой (19) понижения степени
,
получим
Задача 8. Вычислить
.
Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)
,
получим
Задача 9. Вычислить
.
Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:
Первый интеграл вычисляем, сделав замену
, тогда
. Имеем
Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат:
. Тогда с учетом формулы (14) получим
Итак, исходный интеграл равен
Задача 10. Вычислить
.
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения
Первый интеграл вычисляется путем замены
, тогда
Имеем
Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:
![]()
Тогда с учетом формулы (16) получим
Следовательно, исходный интеграл равен