Практикум по решению задач по математике. Второй семестр

Задача 6. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида .

Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае ), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение

, следовательно, можно выполнить замену: .

В результате получим

Задача 7. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида  с чётными m и n (в данном случае ). Воспользуемся формулой (19) понижения степени

,

получим

Задача 8. Вычислить .

Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)

,

получим

Задача 9. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:

Первый интеграл вычисляем, сделав замену , тогда . Имеем

Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: . Тогда с учетом формулы (14) получим

Итак, исходный интеграл равен

Задача 10. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Первый интеграл вычисляется путем замены , тогда  Имеем

Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:

 

Тогда с учетом формулы (16) получим

Следовательно, исходный интеграл равен