Задача 15. Вычислить
Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю
будет соответствовать сумма
множителю
- дробь
. Тогда получим разложение
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю
и приравняем числители получившихся дробей:
Найдем А, В, С, D. Согласно методу частных значений
(см. задачу 14) полагаем
, тогда равенство примет вид
откуда
. Далее применяем метод неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.
Так, для х получим равенство
откуда
; для
имеем
, откуда
; для
получим
, откуда
Итак,
Вычисляем интеграл
Задача 16. Вычислить
, если l задана уравнением
Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:
Получим
Согласно формуле (20)
Тогда
Задача 17. Найти массу дуги кривой
, если плотность кривой
Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так как
, получаем