Примеры вычисления перемещений способом Верещагина
Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена нами в главах 2, 3, 5. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.
Принцип возможного изменения сил и формула Кастилиано Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р
Примеры определения перемещений с помощью формулы Мора Пример. Пусть требуется в простейшей ферме определить вертикальное и горизонтальное перемещение узла А.
Пример. Пусть требуется определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки А в кривом стержне (рис. 7.12,а) постоянного радиуса кривизны
Пример 1. Определим вертикальное перемещение точки А консольной балки
(рис. 7.17,а) по формуле Мора (7.10) с использованием способа Верещагина.
а) б)
Рис. 7.17
С этой целью строим эпюру моментов от заданной нагрузки
(рис. 7.17,б). Эпюру от заданной нагрузки разбиваем на две простейшие – треугольник и симметричную параболу. В результате имеем:
или
При перемножении площади
эпюры от внешней нагрузки на ординату
эпюры от единичной нагрузки следует руководствоваться правилом: если эпюры лежат по одну сторону от оси балки, то они одного знака и потому дают знак плюс. В противном случае – знак минус.
Пример 2. Найдём взаимное сближение точек А и В рамы (рис. 7.18,а), т.е.
, используя формулу Мора и способ Верещагина.
а) б)
Рис. 7.18
На рис. 7.18, а и б построены эпюры моментов от внешней силы Р и обобщённой единичной силы
, где
Искомое взаимное перемещение
.
Пример 3. Найдём вертикальное перемещение точки пространственной рамы
(рис. 7. 19,а) по формуле Мора (7.18):
(1)
которая учитывает кручение и изгиб стержней рамы. На рис. 7.19 приведены эпюры изгибающих моментов от заданной и единичной нагрузок.
а) б)
Рис. 7.19
Вычисление даёт:
(2)
Определение температурных перемещений
в балках и рамах
Перемещение в балках могут вызываться не только силами, но и изменениями температуры. Если по высоте сечения температура изменилась на
градусов равномерно, то брус испытает удлинение на каждом участке
, равное:
,
где
- коэффициент линейного температурного расширения, и тогда, согласно формуле (7.19):
58
Эпюра Т Эпюра
Эпюра
Рис. 7.20
Если температура изменяется по высоте балки по линейному закону (рис. 7.20), то удлинение крайних волокон:
откуда угол поворота сечения:
Тогда, согласно (7.19):
При одновременном эффекте имеем:
(7.21)
Пример. Определим вертикальное перемещение точки А консольной балки, у которой нижняя сторона имеет температуру
, а верхняя -
<
а) б)
Рис. 7.21
В данной задаче
определяется линейной эпюрой, изображённой на
рис. 7.21,б.
Поэтому на основании (7.21) получаем:
Расчет на жесткость балки из прокатных профилей.
Исходные данные и расчетная схема балки из прокатных профилей представлена на рис. 3.3. Возьмем произвольные сечения z1, z2 и z3, как показано на рисунке. При это продлим распределенную нагрузку на участке АС до конца балки, а ее действие на участке CD компенсируем аналогичной распределенной нагрузкой противоположного знака (выделены на рисунке серым цветом).
Участок АВ (0£z1£l1):
Участок ВC (l1+£z2£l1+ l2):
Участок CD (l1+ l2+£z3£l1+ l2+l3):
Ввиду заделки в точке D q3(l1+ l2+l3)=0:
y3(l1+ l2+l3)=0:
Подставив известные значения в предыдущие уравнения, получим:
qА=-0,096 рад; qВ=-0,100 рад; qС=-0,059 рад; qD=0 рад;
yA=0,00003 м; yВ=-0,00055 м; yС=-0,00006 м; yD=0 м;
Допускаемые перемещения и углы поворота определяется из условия жесткости
Условие жесткости по перемещениям в сечении В и по углам поворота на участках А, В, С не выполняются. Необходимо провести мероприятия по увеличению жесткости конструкции.
