Курс сопротивления материалов. Примеры выполнения курсовых работ Сопромат

Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений 

Устойчивость упругих систем Концепция устойчивости Под устойчивостью понимают способность систем сохранять их состояние равновесия или движения во времени под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения.

Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости Рассмотрим раму, имеющую ось геометрической симметрии

Метод перемещений При расчёте статически неопределимых систем методом сил сначала находятся лишние неизвестные, затем внутренние силовые факторы и перемещения.

Модельные задачи и методы исследования  устойчивости упругих систем Метод Эйлера. Рассмотрим простую модельную задачу, которая поможет выяснить все особенности потери устойчивости. Пусть абсолютно жёсткий стержень (стойка) шарнирно опёрт на нижнем конце и закреплён с помощью упругой горизонтальной пружины на верхнем (рис. 9.10,а). Эта пружина отражает упругие свойства системы при поперечном отклонении.

Метод Кармана (начальных несовершенств). Т. Карман первым рассмотрел процесс продольного изгиба стойки с начальными несовершенствами как задачу устойчивости и трактовал предельную нагрузку не как исчерпания несущей способности системы, а как предел устойчивости. Однако такая точка зрения долгое время (вплоть до наших дней) не находила поддержки.

 Пример 1. Рассмотрим трижды статически неопределимую систему (рис. 8.35,а). 

 Заданная система Основная система Единичное состояние

 системы

 а) б) в)

 Рис. 8.35

 Степень кинематической неопределимости задачи  Неизвестных перемещений – одно. Это поворот узла  Каноническое уравнение метода перемещений:

  (1)

 Введём защемление узла. В результате получаем основную систему метода. Реактивный момент в левом защемлении, согласно рис. 8.35,а, равен:

  

Превратим теперь защемление в узловое и повернём узел 1 на единичный угол   (рис. 8.35,в).

 Согласно рис. 8.34,а в примыкающих к узлу стержнях на их концах возникают моменты  и  (рис. 8.36,б). Из равновесия узла находим:

  

Подставляя значения найденных коэффициентов в каноническое уравнение (1), получим:

 

 Эпюры от внешней нагрузки в основной системе и от единичного смещения показаны на рис. 8.36,а,б.

 

 а) б) в)

 Рис. 8.36

Используя формулу (8.14) находим узловые моменты и строим суммарную эпюру моментов (рис. 8.36,в).

  Пример 2. Рассмотрим два раза статически неопределимую раму (рис. 8.37,а). Степень статической неопределимости рамы  ибо она имеет два независимых перемещения узлов: угол поворота узла 1 и линейное перемещение узла 2 (рис. 8.37,а,б). Соответствующие канонические уравнения метода перемещений имеют вид:

  (1)

 Заданная и эквивалентная системы задачи и единичные состояния изображены на рис. 8.37. Эпюры моментов от внешней нагрузки в основной системе изображены на рис.8.38,а. Эпюры моментов от единичных смещений представлены на рис. 8.38.

Из условий равновесия узла 1 в каждом из состояний находим:

  

 

 Заданная система Эквивалентная система Кинематически 

 изменяемая

 система

 а) б) в)

 Первое единичное состояние Второе единичное состояние

  г) д) 

 Рис. 8.37

 а) б) в)

 Рис. 8.38

 Для определения коэффициентов  рассмотрим равновесие отсечённых частей рамы (рис. 8.39). Из уравнений равновесий находим:

  

 Рис. 8.39

Канонические уравнения задачи принимают вид

 

Примем для простоты расчёта  и . Тогда получим:

 

откуда

 

Далее по формуле  строим эпюру изгибающих моментов

(рис. 8.40).

 

 Рис. 8.40

Построение эпюры напряжений.

  Наибольшие напряжения при кручении возникают на внешних волокнах и определяются как

 где - полярный момент сопротивления, Ip – полярный момент инерции сечения, rmax – максимальный радиус. Определим геометрические характеристики сечений:

 Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:

 Определим опасное сечение, в котором возникают наибольшие напряжения, в долях 1/d3:

 Участок AB (0£z1£l1):

Участок BC (0£z2£l2):

Участок CD (0£z3£l3):

 По полученным данным строим Эtd3 (рис. 2.2).


Вернуться на Главную