Продольные колебания стержня
Вынужденные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы. Резонанс.
Пример . Определить критическое число n оборотов мотора, вес которого
Пример 1. Определить низшую частоту собственных колебаний балки методом Релея, если вес единицы ее длины равен q
Понятие о приведенной массе Рассмотрим упругую систему, например балку с распределенной массой
Главные деформации в плоских задачах
Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 10.22), в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу.
Пусть
плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной dz равна:
(10.85)
Осевое перемещение сечения:
является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения z и времени t.
Рис. 10.22
Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:
или, с учётом (10.85),
(10.86)
Поскольку
(10.87)
то, исключив с помощью (10.87) из (10.86) усилие N, находим уравнение:
(10.88)
где
(10.89)
Уравнение (10.88) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина С называется скоростью распространения упругой волны. Для стали С = 4900 м/с, для алюминия С = 5100 м/с.
Решение уравнения (10.88) ищем в виде:
(10.90)
Подставляя (10.90) в (10.88), получим:
(10.91)
или, после разделения переменных:
откуда для функций T(t), Z(z) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:
(10.92)
(10.93)
Общий интеграл уравнения (10.92):
(10.94)
откуда видно, что
это круговая частота свободных колебаний.
Общий интеграл уравнения (10.93) имеет вид:
(10.95)
Постоянные с1, с2 находятся из граничных условий на концах стержня.
Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.10.23,а).
а) б)
Рис. 10.23
При Z = 0 имеем W = 0, следовательно, Z = 0, а при z =
Тогда получаем:
(10.96)
Если с1 = 0, то колебания отсутствуют. Если
то
и тогда:
(10.97)
Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при
n = 1:
(10.98)
Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защемлён, а другой несет груз массы М (рис. 10.23,б). На закрепленном конце при Z = 0 по-прежнему имеем Z = 0, из (10.95) следует с2 = 0.
На свободном конце с прикрепленной массой М на основании прин 208
ципа Даламбера имеем:
(10.99)
или с учетом (10.40), (10.92):
(10.100)
Подставляя (10.95) при с2 = 0 в граничное условие (10.100), находим:
(10.101)
Если с1 = 0, никаких колебаний нет. Если
то колебания есть. Для удовлетворения условия (10.102) следует приравнять нулю квадратную скобку. В результате находим:
(10.102)
где через
обозначена масса стержня. Решение уравнения (10.102) можно найти графически (рис. 10.24). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:
(10.103)
При малых частотах, когда
малая величина, уравнение (10.102) упрощается:
(10.104)
откуда следует:
(10.105)
Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня m можно пренебречь по сравнению с массой Мгруза.
Рис. 10.24
Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разложении
в уравнении (10.102) два слагаемых:
Тогда получим:
откуда
(10.106)
При больших значениях
гипербола
проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от
Следовательно,
Основные положения. Связи необходимые и дополнительные.
Статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия.
В машиностроении и строительных конструкциях такие системы находят широкое применение.
В одних случаях статическая неопределимость является сущностью самой конструкции.
Примерами таких конструкций могут быть: армированные уголками стойки (рис. 1, а); панель крыла самолета, состоящая из обшивки 1 с продольными ребрами 2 (рис. 1, б); составной цилиндр, полученный путем напряженной посадки двух труб из различных материалов (рис. 1, в).
В других случаях, с целью повышения жесткости и надежности системы, вводятся дополнительные связи сверх тех минимально необходимых, которые обеспечивают ее кинематическую неизменяемость. Наложение на систему дополнительных связей превращает ее в статически неопределимую. Напомним, что кинематическая неизменяемость плоской системы обеспечивается тремя, а пространственной – шестью связями.
Все статически неопределенные конструкции имеют дополнительные или, так называемые, «лишние» связи в виде закреплений стержней или других элементов. Лишними такие связи называются только потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяемости, хотя постановка их диктуется условиями эксплуатации. По условиям прочности и жесткости конструкции лишние связи могут оказаться необходимыми.
а) б) в)
Рис. 2
На рис. 2 приведены схемы 3-х плоских систем с «лишними» связями: а – стержневой подвески; б – стержня, закрепленного обоими концами; в – стержневого кронштейна. В схеме, показанной на рис. 2, в, вся система состоит из упругих звеньев. Подсчет числа наложенных связей производится в этом случае следующим образом. Каждый стержень связан с опорной поверхностью двумя связями. Всего таких связей 8. Шарнир, соединяющий концы стержней, снимает связи, ограничивающие относительный или взаимный их поворот. При соединении двух стержней одним шарниром снимается одна связь, трех стержней – две связи, четырех – три и т.д. В данном случае снимаются три связи. Следовательно, всех связей, наложенных на эту систему оказывается пять, две из которых могут считаться «лишними».
