Главные деформации и сдвиги
Определение удлинений и сдвигов для произвольно направленных волокон
Главные нормальные напряжения и направления в общем случае объёмного напряжённого состояния Плоские задачи являются частным случаем объёмного напряжённого состояния
Общее решение кубического уравнения для определения главных напряжений
Напряжения на октаэдрических площадках Рассмотрим площадки, равнонаклонённые к главным осям
Поставим вопрос об отыскании таких направлений в данной точке тела, в которых волокна испытывают экстремальные удлинения, а сдвиг отсутствует. Такие направления назовём главными направлениями деформации, а сами деформации – главными деформациями. Обозначим их
Пусть
направляющие косинусы главного
направления, удовлетворяющие условию:
(11.84)
Составим функцию Лагранжа:
и условия экстремума этой функции. Получим систему трёх однородных алгебраических уравнений:
(11.85)
Приравнивая к нулю определитель системы (11.85), получаем:
(11.86)
Раскрывая этот определитель, приходим к кубическому уравнению для определения главных удлинений:
(11.87)
где обозначено:
![]()
(11.88)
Величины
являются инвариантами тензора деформа-ций по отношению к повороту координатных осей. Направления волокон, испытывающих главные удлинения называются главными направлениями или осями деформации. Они взаимно ортогональны и сдвигов между ними не происходит.
В частном случае плоской деформации
Из (11.87) следует уравнение
,
откуда находим:
(11.89)
Система (11.85) при
принимает вид
![]()
откуда следует формула
(11.90)
для определения главных направлений деформации.
Аналогично кругам напряжений Мора имеют место круги деформации Мора. Параметрические уравнения наибольшего из кругов Мора имеют вид:
(11.91)
Из (11.91) следует каноническое уравнение окружности Мора для деформации:
![]()
На рис. 11.31 дано геометрическое изображение кругов деформаций Мора, из которых следует:
(11.92)
![]()
Рис. 11.31
Величина:
![]()
называется параметром Лоде для деформированного состояния. Она характеризует вид деформированного состояния.
Радиусы кругов Мора дают экстремальные значения сдвигов:
, (11.93)
которые называются главными сдвигами.
В соответствии с законом Гука (11.15) и с учётом (11.61), (11.93) получаем:
(11.94)
11.14. Общее решение кубического уравнения
для определения главных деформаций
Как и при определении главных напряжений, сделаем в уравнении (11.87) замену
где Эк – главные деформации тензора- девиатора деформаций. В результате получим:
(11.95)
где коэффициенты:
![]()
(11.96)
являются инвариантами относительно поворота координатных осей x, y, z.
Фундаментальную роль в сопротивлении материалов играет второй инвариант. Величину
или
(11.97)
называют модулем тензора–девиатора деформаций. Величину
называем модулем тензора деформаций.
Общее решение кубического уравнения (11.65) имеет вид:
(11.98)
где угол
называется фазой девиатора или углом вида деформированного состояния формоизменения. Для определения
имеет место соотношения:
(11.99)
Определив из (11.99)
, находим по формулам (11.98) главные деформации Эк и
девиатора и тензора деформаций.
Угол
связан с параметром Лоде
соотношением:
.
Модуль Э девиатора деформаций имеет простой геометрический смысл. С точностью до множителя Э совпадает с октаэдрическим сдвигом, т.е.
. Под октаэдрическим сдвигом понимается сдвиг между октаэдрическими волокнами, которые равнонаклонены к главным осям. Модули девиаторов деформаций Э и напряжений
связаны простым соотношением (11.26).
Из закона Гука (11.15) для главных направлений имеем:
тогда
![]()
Примеры расчета статически неопределимых систем.
Рассмотрим основные этапы расчета статически неопределимых систем на примере простейших конструкций.
Пример 1. К стержню, закрепленному обоими концами, приложена осевая сила Р (рис. 4). Определить опорные реакции R1 и R2, если известны l1, l2 и Р.
Решение
Статическая сторона задачи.
Первое и третье условия удовлетворялись тождественно. Таким образом, рассмотрение статической стороны задачи приводит к одному уравнению с двумя неизвестными
R1+R2=P
Следовательно, данная задача один раз (S=2-1=1) статически неопределима и для ее решения нужно составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные R1 и R2.
Геометрическая сторона задачи.
Установим связь между деформациями участков длинной l1 и l2.
В случае неразрывности участок длинной l2 укоротится на столько, насколько растянется участок длиной l1:
(в)
Это и есть условие совместности, выраженное в деформациях.
Физическая сторона задачи.
Для совместного решения (а) и (в) нужно, пользуясь законом Гука, выразить деформации (в) через усилия:
а т. к. N1=R1 и N2=R2
то
отсюда
Определение неизвестных.
Решая (с) совместно с (а) получим:
![]()
Определив реакции опор, используя метод сечений, можно вычислить внутренние продольные силы. Эпюра продольных сил представлена на рис. 4, б.
Энергетическая проверка.Работа А внешней силы Р на перемещении d равна сумме потенциальной энергии деформации U верхней и нижней частей стержня: А=U
тогда
![]()
Учитывая, что
![]()
![]()
получим
или
т. е. равенство удовлетворяется.