Главные деформации и сдвиги
Определение удлинений и сдвигов для произвольно направленных волокон
Главные нормальные напряжения и направления в общем случае объёмного напряжённого состояния Плоские задачи являются частным случаем объёмного напряжённого состояния
Общее решение кубического уравнения для определения главных напряжений
Напряжения на октаэдрических площадках Рассмотрим площадки, равнонаклонённые к главным осям
Поставим вопрос об отыскании таких направлений в данной точке тела, в которых волокна испытывают экстремальные удлинения, а сдвиг отсутствует. Такие направления назовём главными направлениями деформации, а сами деформации – главными деформациями. Обозначим их
Пусть
направляющие косинусы главного
направления, удовлетворяющие условию:
(11.84)
Составим функцию Лагранжа:
и условия экстремума этой функции. Получим систему трёх однородных алгебраических уравнений:
(11.85)
Приравнивая к нулю определитель системы (11.85), получаем:
(11.86)
Раскрывая этот определитель, приходим к кубическому уравнению для определения главных удлинений:
(11.87)
где обозначено:
(11.88)
Величины
являются инвариантами тензора деформа-ций по отношению к повороту координатных осей. Направления волокон, испытывающих главные удлинения называются главными направлениями или осями деформации. Они взаимно ортогональны и сдвигов между ними не происходит.
В частном случае плоской деформации
Из (11.87) следует уравнение
,
откуда находим:
(11.89)
Система (11.85) при
принимает вид
откуда следует формула
(11.90)
для определения главных направлений деформации.
Аналогично кругам напряжений Мора имеют место круги деформации Мора. Параметрические уравнения наибольшего из кругов Мора имеют вид:
(11.91)
Из (11.91) следует каноническое уравнение окружности Мора для деформации:
На рис. 11.31 дано геометрическое изображение кругов деформаций Мора, из которых следует:
(11.92)
Рис. 11.31
Величина:
называется параметром Лоде для деформированного состояния. Она характеризует вид деформированного состояния.
Радиусы кругов Мора дают экстремальные значения сдвигов:
, (11.93)
которые называются главными сдвигами.
В соответствии с законом Гука (11.15) и с учётом (11.61), (11.93) получаем:
(11.94)
11.14. Общее решение кубического уравнения
для определения главных деформаций
Как и при определении главных напряжений, сделаем в уравнении (11.87) замену
где Эк – главные деформации тензора- девиатора деформаций. В результате получим:
(11.95)
где коэффициенты:
(11.96)
являются инвариантами относительно поворота координатных осей x, y, z.
Фундаментальную роль в сопротивлении материалов играет второй инвариант. Величину
или
(11.97)
называют модулем тензора–девиатора деформаций. Величину
называем модулем тензора деформаций.
Общее решение кубического уравнения (11.65) имеет вид:
(11.98)
где угол
называется фазой девиатора или углом вида деформированного состояния формоизменения. Для определения
(11.99)
Определив из (11.99)
, находим по формулам (11.98) главные деформации Эк и
девиатора и тензора деформаций.
Угол
соотношением:
.
Модуль Э девиатора деформаций имеет простой геометрический смысл. С точностью до множителя Э совпадает с октаэдрическим сдвигом, т.е.
. Под октаэдрическим сдвигом понимается сдвиг между октаэдрическими волокнами, которые равнонаклонены к главным осям. Модули девиаторов деформаций Э и напряжений
связаны простым соотношением (11.26).
Из закона Гука (11.15) для главных направлений имеем:
тогда
Примеры расчета статически неопределимых систем.
Рассмотрим основные этапы расчета статически неопределимых систем на примере простейших конструкций.
Пример 1. К стержню, закрепленному обоими концами, приложена осевая сила Р (рис. 4). Определить опорные реакции R1 и R2, если известны l1, l2 и Р.
Решение
Статическая сторона задачи.
Первое и третье условия удовлетворялись тождественно. Таким образом, рассмотрение статической стороны задачи приводит к одному уравнению с двумя неизвестными
R1+R2=P
Следовательно, данная задача один раз (S=2-1=1) статически неопределима и для ее решения нужно составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные R1 и R2.
Геометрическая сторона задачи.
Установим связь между деформациями участков длинной l1 и l2.
В случае неразрывности участок длинной l2 укоротится на столько, насколько растянется участок длиной l1:
(в)
Это и есть условие совместности, выраженное в деформациях.
Физическая сторона задачи.
Для совместного решения (а) и (в) нужно, пользуясь законом Гука, выразить деформации (в) через усилия:
а т. к. N1=R1 и N2=R2
то
отсюда
Определение неизвестных.
Решая (с) совместно с (а) получим:
Определив реакции опор, используя метод сечений, можно вычислить внутренние продольные силы. Эпюра продольных сил представлена на рис. 4, б.
Энергетическая проверка.Работа А внешней силы Р на перемещении d равна сумме потенциальной энергии деформации U верхней и нижней частей стержня: А=U
тогда
Учитывая, что
получим
или
т. е. равенство удовлетворяется.
